摩擦がない場合

　摩擦のない角度 θ の斜面を滑る質点の運動を考えよう。$\boldsymbol x$-座標を斜面の上方に取り、$\boldsymbol y$-座標は斜面の垂直上方に取ろう。

　質点に働く力は（地球の自転などによる見かけの力を除外して考えれば）地球による重力（万有引力）$mg$ のみである。

　斜面上の大きさの無視出来る物体は、斜面に平行な方向のみに動ける自由度が与えられているため、斜面に垂直な方向の力の合力は $F_y$ と抗力 $N$ がつり合い、ゼロになっている（$|F_y|=|N|$）。

　また、質点ではなく、大きさのある物体の場合には、斜面に接するその物体の支点の回りの回転が起こってはいけない。その条件から、抗力が物体に働く位置は、重心に働く重力 $m\boldsymbol g$ と斜面が交わる点になる^注。

　斜面上の質点に働く正味の力は、$x$-軸の負の方向を向いた $F_x=-mg\sin\theta$ のみである。その結果、自由落下と同様に、質点は斜面下方に徐々に加速される。その時の実質的な重力加速度は、自由落下の場合の $mg$ に対して、$\sin\theta$ 倍だけ小さい。

　結果として、斜面上の物体の運動方程式は、因子 $\sin\theta$ 以外は、自由落下する物体と全く同一になる。力 F は、座標軸の取り方が自由落下の場合とは変わったので、それに応じて変わる：$\boldsymbol F=(-mg\sin\theta, N-mg\cos\theta, 0)$。斜面上の質点の運動方程式はこの力 $\boldsymbol F$ を代入して、

$$\large{ \frac{d\boldsymbol P}{dt}=\boldsymbol F, \qquad (1) }$$

であり、両辺を質量 $m$ で割って $x, y$ 成分に分けると、

$$\large{ \frac{dv_x}{dt}=-g\sin\theta, }$$ $$\large{ \frac{dv_y}{dt}=0, \qquad (2) }$$ $$\large{ \frac{dv_z}{dt}=0, }$$

となる。両辺を時間で積分して、速度の一般解は

$$\large{ v_x=-g\sin\theta\int\,dt=-gt\sin\theta+C_x, }$$ $$\large{ v_y=C_y, \qquad (3) }$$ $$\large{ v_z==C_z, }$$ $$\large{(C_i, i=x, y, z\text{：積分定数})}$$

で与えられ、もう一度時間で積分すると、位置座標の一般解は

$$\large{ x=-\frac{gt^2\sin\theta}{2}+C_xt+C'_x, }$$ $$\large{ y=C_yt+C'_y, \qquad (4) }$$ $$\large{ z=C_zt+C'_z, }$$ $$\large{(C'_i, i=x, y, z\text{：積分定数})}$$

と求まる。これらの一般解は、時刻 $t=0$ の初期位置や初速度の「初期条件」を未だ特定していない任意定数を含むため「あらゆる具体的な初期条件に対応した、全ての可能な」斜面上の質点の運動を表現している。 「具体的な初期条件」として任意定数が特定されると、初めてその初期条件に対応した、特解が得られることになる。

摩擦がある場合の斜面上の質点の運動

　質点と斜面の間に摩擦力が働く場合を考えよう。摩擦力の大きさは、抗力 N の大きさに比例することが知られている。摩擦力の原因は、質点と斜面上の原子間、或いは分子間の引力または斥力である。表面が粗い場合には、凸凹同士が反撥し合うために加速が妨げられる。一方、原子の配列レベルまで滑らかである場合には、原子間の引力によって張り付いてしまい、斜面に平行な外力も完全に打消される。摩擦の物理は、現在でも、原子間力顕微鏡（AtomicForceMicroscope: AFM）のような微視的な測定手段により研究が続けられている。

　摩擦力の原因から考えて、摩擦力が加速度を産み出すような事はあり得ないが、外力を打ち消したり弱める効果がある。打ち消すことが出来る最大の摩擦力を、最大 (静止) 摩擦力 $f_{max}$ と呼び、摩擦係数 $\mu$ と抗力 $N$ を用いて $f_{max}=\mu N$ （$\mu$ の定義式で、無次元量）と表される。従って、右図のような条件で、質点が斜面を滑り出すためには、$F_x$ が最大摩擦力 $\mu N$ よりも大きくなる斜面の角度が必要になる。即ち、滑り出す条件は、

$$\large{ mg\sin\theta >\mu N, }$$

で与えられる。抗力 $N$ は常に重力の斜面に垂直な成分と等しいので、

$$\large{ \sin\theta > \mu\cos\theta, \quad \therefore \tan\theta > \mu }$$

が質点が斜面上を滑り始める角度になる。斜面上の摩擦係数が場所によらず一定であれば、実質的な効果としては、斜面上の重力加速度を弱める因子 $\sin\theta$ に更に摩擦の因子が加わり、$(\sin\theta-\mu' \cos\theta)$ の因子だけ重力加速度を弱める。なお、静止時に働く最大摩擦力 $\mu\cos\theta$ と、滑り始めた後の摩擦力 $\mu'\cos\theta$ とは必ずしも同じ係数になるとは限らないことが知られている

^注 実際には摩擦があり、滑らない条件を満たす場合のみ支点の回りの回転が生じる。回転運動の原因を与えるのは、力のモーメント $\boldsymbol N$ である。力のモーメントの大きさは、支点から力が働く点までの位置ベクトル $\boldsymbol r$ と力のベクトル $\boldsymbol F$ の外積で与えられる：$\boldsymbol N=\boldsymbol r\times\boldsymbol F$。外積の定義から、その大きさは $|N|=rF\sin\theta$ で与えられる。ここで、角 $\theta$ ($\le\pi$) は、２つのベクトルが成す角度。

　この例では、力のモーメントの原因になり得る力として、$F_x, F_y, N$ の３つがある。物体の長さを $b$、高さを $a$ とすると、$\boldsymbol r \Rightarrow \boldsymbol F$ の方向が時計回りの場合を正とすると、力のモーメントの合計は、$|\boldsymbol N|=mg\cos\theta$ を使って、
$$\large{ N=\frac{F_yb}{2}+N\left(\frac{b}{2}-\frac{a\tan\theta}{2}\right)-\frac{F_xa}{2}, }$$ $$\large{ \quad\,=\frac{mgb\cos\theta}{2}-mg\left(\frac{b}{2}-\frac{a\tan\theta}{2}\right)\cos\theta-\frac{mga\sin\theta}{2}=0, }$$

と打消す事が確認出来るので、抗力の働く点が、重心に働く重力と斜面とが交わる点である事が確認される。

07.5.21