摩擦のない完全流体を除くと、流速の分布に伴う粘性抵抗が働き、粘性力は速さ v の勾配に比例する。
　図１のように、粘性を持つ川の水の流れを考えよう．経験的に、流体と固体（川岸）の接する面では流速が０となり、川の中央ほど速くなることが知られている．そのため、dy だけ離れた流線間の速さに dv = v(y + dy) – v(y) の差が生ずる。dy に対する流線間の速度差 dv の比（速度勾配）

に比例して水分子間の衝突による粘性（摩擦）が大きいと考えられる。川岸では常に速度が０なので、速度勾配も中央の速度 v に比例する。粘性抵抗 F と速度勾配の比例係数を粘性係数 η と定義すると、流線間の単位接触面積あたりの粘性力 τ は

(1)

と書き表せる．粘性係数の単位は、(1) 式から、

で与えられる．ここで、Pa = N/m² は圧力の単位で、10³ hPa = 10⁵ Pa が約１気圧に相当する．
　一様な流速 v 中に置かれた半径 a の球の受ける粘性抵抗 F は、近似的に、球と流体が接する面積 S に粘性応力 τ を掛けて得られる：

=cv, （c=4πaη、正確な計算によると6πaηv）．

(2)

ここで、球の表面に接する流体の流速 (v = 0) が、球からその半径 a 程度離れれば一様な流れの速度 v になると仮定し、球の表面の速度勾配を (v–0)/a で近似した。この場合、粘性抵抗は速さ v に比例し、２０度Ｃ、１気圧の空気の粘性係数は約1.8x10^-5　[Pa･s]で、水の粘性係数は、それより２桁近く大きく、0.80x10^-3 [Pa･s]である。

慣性抵抗

　速度が遅い場合には、速度に比例する粘性抵抗が効果的であるが、ある程度速くなると（形状に依存）速度の２乗に比例する慣性抵抗が主になる．図２に示す速度 v で落下する半径 l のパラシュートを考えよう．このパラシュートが落下するにつれて、その下方の断面積 S (=πl²) の空気が排除される．この効果を、断面積 S の空気を下方に速度 v に加速すると理解出来る．即ち、単位時間の間に加速する空気の体積 ΔV/Δt は Sv、その質量 ΔM は空気の密度をρとして ΔM/Δt= ρSv となる．結果として、空気は dt 時間当り ΔM = ρSvΔt と v を掛けた運動量 dP/dt を得る。結局、運動方程式dP/dt= Fより、パラシュートの受ける慣性抵抗の大きさは F= ΔP/Δt =ρSv² = Dv² (D = ρS) になる。方向は「摩擦」なので、常に –v の方向。 この表式は近似式なので、正確にはこれに形状に依存した１程度の大きさの係数がかかる：D = kρS．

粘性抵抗がある場合の運動

　速度に比例する粘性抵抗があるときには、運動方程式は速度に比例する減衰項を含み

(3)

と書ける．t₀ = m/c [Kg•m/N/s=s] は、慣性の大きさと摩擦による減速の比率で決まる時定数（速度が 1/e に減速されるに要する特性時間）である．慣性質量が大きければ摩擦に負けないため、減速までの時間が長くなる事に対応する。両式を時間で積分して、

が得られる．ここで、初期条件、t = 0 で v = v₀ を代入すると積分定数が A = v_0x, B = v_0y + mg/c と決まり、

となる．これらの結果から、初速度は時定数 t₀ で減衰し、落下速度は同じ時定数で終端速度に漸近する。

　時刻 t における質点の位置は、速度をもう一度時間で積分して、

(5)

が得られる．初期条件、t = 0 で x = y = 0 を代入し、 C_x1 = mv_0x/c, C_y1 = mv_0y/c + m²g/c² から、

(6)

となる．y の第１項は、初速度による到達距離、第２項は、摩擦のある場合の自由落下距離。

慣性抵抗がある場合の運動