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大きさと方向を持つ量（少なくとも２つ以上の成分を持つ量）をベクトル量と呼び、大きさのみを持つスカラー量と対比して用いられる．

表記例（位置座標）

直交座標：(x, y, z)、 極座標：(r, θ, φ)、 記号：V ,
ベクトルの基準点は任意の位置に置いて良い．

☆ベクトルの種類

極性ベクトルと軸性ベクトル

本来方向を持つ量を表すベクトルを極性ベクトルと呼ぶ
例）変位ベクトル、速度ベクトル、力ベクトル

本来方向はないが、適当な約束でその方向を定めたベクトルを軸性ベクトルと呼ぶ
例）面積ベクトル、角速度ベクトル

☆ベクトルの和と差

２つのベクトルを a=a_xi+a_yj+a_zk、b=b_xi+b_yj+b_zk とする．

和、差

a±b = (a_x±b_x)i+(a_y±b_y)j+(a_z±b_z)k

☆ベクトルのかけ算

内積（スカラー積、積はベクトルではない）

a•b=ab cosθ,

i, j, k を直交座標の３つの単位ベクトルとすると、これらは互いに直交するので、

i•i=j•j=k•k=1, i•j=j•k=k•i=0

となる．従って、

a•b=(a_xi+a_yj+a_zk)(b_xi+b_yj+b_zk)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

が得られる．

ベクトルの長さ：a=(a•a)^½=(a_x²+a_y²+a_z²)^½

外積（ベクトル積、積はベクトル）

|a×b|=ab sinθ, 方向は右図の通り．
従って、平行なベクトルの外積はゼロになる．

i×i=j×j=k×k=0,

i×j=-j×i=k, j×k=-k×j=i, k×i=-i×k=j

が成り立つ．従って、

a×b=(a_xi+a_yj+a_zk)×(b_xi+b_yj+b_zk)

=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k

が得られる．

☆外積の別の表記

☆外積の応用例

外積を用いて三角関数の加法定理を求める．

a=a(i cosα + j sinα)、b=b(i cosβ - j sinβ)とすると、

b×a=b(i cosβ - j sinβ) × a(i cosα + j sinα)

=ab(i×i cosβcosα +i×j cosβ sinα - j×i sinβcosα - j×j sinβsinα)

=ab(sinαcosβ + cosαsinβ)k

外積の定義から、b×a=kabsin(α+ β) なので、

sin(α+ β) = sinαcosβ + cosαsinβ

が得られる．

☆スカラー三重積（結果はスカラー量（体積））

a•(b×c)= a•S=Sa cosβ=V=(a×b)•c=[abc],

ここで、a cosβ はベクトル abc で作る平行６面体の bc で張る底面から測った高さ h に等しい．[abc] は、グラスマンの記号と呼ばれ、abc を cab、bca と順番に入れ替えても結果は変わらない事を意味する．しかし、交換するとマイナスがつく．その大きさは、左の図に示すように、３つのベクトルで張る並行６面体の体積を与える．

☆ベクトル三重積（結果はベクトル量）

a×(b×c)=[a[bc]]=b(a•c)-c(a•b)

(a×b)×c=–c×(a×b)= –a(c•b)+b(c•a)

☆ベクトルの微分

ベクトルの微分の成分は、成分の微分．円運動の場合は、半径の長さr は一定なのでその２乗（内積、r•r=C）も一定．それを時間で微分すると、

d(r •r)/dt = dC/dt = 0, ∴ (dr/dt)•r + r•(dr/dt) = 2r•(dr/dt) = 2r•v = 0, ∴ r ⊥ v

が得られ、半径ベクトルと速度ベクトルは常に直交していることが分かる．等速円運動の場合は速さv も一定なので、全く同様にv•a=0が得られ、速度と加速度が直交していることが示される．

☆ベクトルの積分

１）スカラー変数による積分：
例：移動量（ベクトル量）

∫ vdt=(∫ v_xdt, ∫ v_ydt, ∫ v_zdt)

２）内積の積分（接線線積分）
例：仕事量（スカラー量．）
点AからBまでの接線線積分

∫ _ABF•dr=∫ _ABF_xdx + ∫ _ABF_ydy + ∫ _ABF_zdz

３）面 積分（スカラー量）
面Sの上の面積分

∫_SA•dS=∫_SA•ndS

S は面積ベクトル、n は面の法線（面積）単位ベクトル．

４）体 積分（スカラー量）

∫φdr=∫φdV=∫∫∫φdxdydz=∫∫∫φr²sinθdrdφdθ

体積要素（右図参照）：dV=dxdydz=r²sinθdrdφdθ

＊ガウスの発散定理：∫_VdivAdv=∫_SA•dS（体積分 =＞ 面積分）

＊ストークスの定理：∫_SrotA•dS=∫_CA•ds （面積分 =＞ 線積分）

問
１）スカラー三重積とベクトル三重積の成分を書き下し、ベクトル三重積の(A)式を確認せよ．
２）cos(α + β) = cosαcosβ–sinαsinβをベクトルを使って証明せよ．　

☆座標の回転

a=a_xi+a_yj=a_x'i'+a_y'j' に i, j のスカラー積をとると

a_x=a_x'i'•i+a_y'j'•i=a_x'cosφ - a_y'sinφ

a_y=a_x'i'•j+a_y'j'•j=a_x'sinφ + a_y'cosφ

☆ハミルトンの演算子・ナブラ ∇

∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z

☆勾配 (Gradient)

gradφ = &nablaφ = i ∂φ/∂x + j ∂φ/∂y + k ∂φ/∂z = (∇_xφ, ∇_yφ, ∇_zφ)

例）保存力

U を重力や電場などのスカラーポテンシャルエネルギーとすると、働く力Fは

F= -∇U(r)=(-∂U/∂x, -∂U/∂y, -∂U/∂z)=(F_x, F_y, F_z)

で与えられる．例）z=h(x, y) 、U=mgz とすると、

F= -∇U(x, y)= -mg(i ∂h/∂x + j ∂h/∂y + k ∂h/∂z)= -mg(i ∂h/∂x + j ∂h/∂y)= -mg(i tanθ_x + j tanθ_y)

任意の方向 s（単位ベクトル）の力の成分は力との内積を取って、

F_s= -s•F= -mg(s•i tanθ_x+s•j tanθ_y)

で得られる．右図の様にx-z 面内で s がh(x, y) の接線になっている場合は s•i=cosθ_x 、s•j=0 なので（一般的には方向余弦になる）、F_s= -mg sinθ_x が得られる．これは、直接求めたF_s= -(∂U/∂s)= -mg sinθ_x に等しい．

☆ベクトルの方向微係数・発散 (Divergence)

divA = ∇•A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z

発散の意味は、微少体積(Δx, Δy, Δz)から出てくる（電荷から出る電気力線の様な）湧き出しを表す．と書くと、A_x(x+Δx)ΔS がx+Δx の位置の微少面積ΔS=ΔyΔz から出ていく量で、x の位置の微少面積ΔS から入るA_x(x)ΔS を引き、体積ΔV で割っているので、ゼロにならない分が単位体積から湧き出す量になる．他の成分も同様に理解できる．

gradient の発散

div∇φ = ∇•∇φ = ∇²φ = Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²&phi/∂y² + ∂²φ/∂z²

ナブラの発散 ∇²=Δ は、ラプラス演算子、ラプラッシアンと呼ばれる．

（参考）ラプラス方程式：∇²φ=Δφ=0、ポアッソン方程式：∇²φ=ρ（ρは電荷密度）

☆ベクトルの回転 (Rotation, Curl)

ナブラとベクトルの外積

また、A=rotB の時、B を A のベクトルポテンシャルと呼ぶ．（スカラーポテンシャルと比較）

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