速度に比例する粘性抵抗があるときには、運動方程式は速度に比例する減衰項を含み

$$\large{ m\frac{dv_x}{dt}=-cv_x,\quad \frac{dv_x}{dt}=-\frac{c}{m}v_x, \qquad (3a) }$$ $$\large{ m\frac{dv_y}{dt}=-mg-cv_y,\quad \frac{dv_y}{dt}=-\frac{c}{m}\left(v_y+\frac{mg}{c}\right), \qquad (3b) }$$

と書ける．$\large{t_0=\frac{m}{c}}$ $\left[\large{\rm{\frac{Kg}{N/\frac{m}{s}}}}\right]$=[s] は、慣性の大きさと摩擦による減速の比率で決まる時定数（速度が $\large{\frac{1}{e}}$ に減速されるに要する特性時間）である．慣性質量が大きければ摩擦に負けないため、減速までの時間が長くなる事に対応する。(3a) 式の両辺を $v_x$ で割り $dt$ を掛け、変数を左辺は $v_x$、右辺は $t$ に変数分離する。同様に (3b) 式を $v_y+\frac{mg}{c}$ で割り $dt$ を掛け、変数を左辺は $v_y$、右辺は $t$ に変数分離する。両式をそれぞれの変数で積分して、
$$\large{ \int \frac{dv_x}{v_x}=-\frac{c}{m}\int dt, \quad \ln{|v_x|}=-\frac{c}{m}t+C_x, \quad v_x=Ae^{-\frac{c}{m}t}=Ae^{-\frac{t}{t_0}}, \quad (A=e^{C_x}) }$$ $$\large{ \int \frac{dv_y}{v_y+\frac{mg}{c}}=-\frac{c}{m}\int dt, \quad \ln{|v_y+\frac{mg}{c}|}=-\frac{c}{m}t+C_y, \quad v_y=Be^{-\frac{c}{m}t}-\frac{mg}{c}=Be^{-\frac{t}{t_0}}-\frac{mg}{c}, \quad (B=e^{C_y}) }$$ が得られる．ここで、初期条件、$t=0$ で $v=v_0$ を代入すると積分定数が $\large{A=v_{0x}, \quad B=v_{0y}+\frac{mg}{c}}$ と決まり、
$$\large{ v_x=v_{0x} e^{-\frac{c}{m}t}=v_{0x}e^{-\frac{t}{t_0}}, }$$ $$\large{ v_y=\left(v_{0y}+\frac{mg}{c}\right) e^{-\frac{c}{m}t}-\frac{mg}{c}=v_{0y}e^{-\frac{t}{t_0}}-\frac{mg}{c}\left(1-e^{-\frac{t}{t_0}}\right), }$$ となる．これらの結果から、初速度は時定数 $t_0$ で減衰し、落下速度は同じ時定数で終端速度に漸近する。

　時刻 $t$ における質点の位置は、速度をもう一度時間で積分して、 $$\large{ x=\int dx=v_{0x}\int e^{-\frac{c}{m}t}\,dt=-\frac{mv_{0x}}{c}e^{-\frac{c}{m}t}+C_{x1}, }$$ $$\large{ y=\int dy=v_{0y}\int e^{-\frac{c}{m}t}\,dt-\frac{mg}{c}\int (1-e^{-\frac{c}{m}t})\,dt, \qquad (5) }$$ $$\large{ \quad=-\frac{mv_{0y}}{c}e^{-\frac{c}{m}t}-\frac{mg}{c}\left(t+\frac{m}{c}e^{-\frac{c}{m}t}\right)+C_{y1}, }$$ が得られる．初期条件、$t=0$ で $x=y=0$ を代入し、 $\large{C_{x1}=\frac{mv_{0x}}{c}}$, $\large{C_{y1}=\frac{mv_{0y}}{c}+\frac{m^2g}{c^2}}$ から、 $$\large{ x=\frac{mv_{0x}}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{m}t}\right), }$$ $$\large{ y=\frac{mv_{0y}}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{m}t}\right)-\frac{mg}{c}\left(t-\frac{m}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{m}t}\right)\right), \qquad (6) }$$ となる．$y$ の第１項は、初速度による到達距離、第２項は、摩擦のある場合の自由落下距離。

慣性抵抗がある場合の運動

　速度の２乗に比例する慣性抵抗がある場合の質点の運動方程式は、 $$\large{ m\frac{dv_x}{dt}=-\left(Dv^2\frac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol v|}\right)_x=-D|\boldsymbol v|v_x,\quad \frac{dv_x}{dt}=-\frac{D}{m}|\boldsymbol v|v_x=-\frac{D}{m}v_x\sqrt{v_x^2+v_y^2}, }$$ $$\large{ m\frac{dv_y}{dt}=-mg-\left(Dv^2\frac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol v|}\right)_y=-mg-D|\boldsymbol v|v_y,\quad \frac{dv_y}{dt}=-\frac{D}{m}\left(|\boldsymbol v|v_y+\frac{mg}{D}\right), \qquad (7) }$$ と書ける．(7) の両式は、$v_x,\ v_y$ の両成分を含む連立微分方程式になる．ここでは、簡単のために (1) $\large{v=v_x}$（重力は働かず、摩擦のみがある慣性運動、常に $\large{v>0}$）或いは (2) $\large{v=v_y}$（摩擦のある自由落下、常に $\large{v<0}$）の場合の２通りを考えよう． $$\large{ (1) \quad m\frac{dv}{dt}=-Dv^2, \quad \frac{dv}{dt}=-\frac{D}{m}v^2, }$$ $$\large{ (2) \quad m\frac{dv}{dt}=-mg-Dv^2, \quad \frac{dv}{dt}=-\frac{D}{m}\left(\frac{mg}{D}-v^2\right), \qquad (8) }$$ を変数を分離してから時間で積分して、 $$\large{ (1) \quad \int \frac{dv}{v^2}=-\frac{D}{m}\int dt, \quad \frac{1}{v}=\frac{D}{m}t+C_1, \quad v=\frac{m}{D}\frac{1}{t+\frac{mC_1}{D}}, }$$ $$\large{ (2) \quad \int \frac{dv}{\frac{mg}{D}-v^2}=-\frac{D}{m}\int dt, \quad \frac{1}{2}\sqrt{\frac{D}{mg}}\int\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{D}}-v}+\frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{D}}+v}\right)dv }$$ $$\large{ =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{D}{mg}}\left(-\ln{\left|\sqrt{\frac{mg}{D}}-v\right|}+\ln{\left|\sqrt{\frac{mg}{D}}+v\right|}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{D}{mg}}\ln{\left|\frac{\sqrt{\frac{mg}{D}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{D}}-v}\right|}=-\frac{D}{m}t+C_2, \qquad (9a) }$$ が得られる．(2) の場合は常に $\large{v<0}$ で、$\large{v^2\le\frac{mg}{D}}$（終端速度の２乗）が成立ち、 $$\large{ (2) \quad \frac{\sqrt{\frac{mg}{D}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{D}}-v}=A\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right), \quad \sqrt{\frac{mg}{D}}+v=\left(\sqrt{\frac{mg}{D}}-v\right)A\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}t}\right), }$$ $$\large{ \qquad v=-\sqrt{\frac{mg}{D}}\ \frac{1-A\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right)}{1+A\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right)}, \quad \left(A=\exp\left(2\sqrt{\frac{mg}{D}}C_2\right)\right) \qquad (9b) }$$ となる．初期条件、$t=0$ で (1) の場合は、$v=v_0$、(2) の場合は、$v=0$ を、それぞれに代入して得た $C_1=\large{\frac{1}{v_0}}$ と $A=1$ を代入し、 $$\large{ (1) \quad v=\frac{m}{D}\frac{1}{t+\frac{m}{Dv_0}}, }$$ $$\large{ (2) \quad v=-\sqrt{\frac{mg}{D}}\ \frac{1-\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right)}{1+\exp\left(-2\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right)}=-\sqrt{\frac{mg}{D}}\tanh\left(\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right), \qquad (10) }$$ を得る．また、(2) の場合の $v$ の終端速度は $\large{-\sqrt{\frac{mg}{D}}}$ で与えられ、(8) 式の(2) で $\large{\frac{dv}{dt}}=0$ と置いて得られる結果と等しいことが確認できる．この場合の特性時間は $\large{t_0=\sqrt{\frac{m}{Dg}}}$ である．この時間の数倍でほぼ終端速度になると考えて良い．
　さて、到達距離 $y$ は、(10) 式を更に時間で積分して、 $$\large{ (1) \quad y=\int dy=\frac{m}{D}\int\frac{dt}{t+\frac{m}{Dv_0}}=\frac{m}{D}\ln\left|A\left(t+\frac{m}{Dv_0}\right)\right| }$$ $$\large{ (2) \quad y=\int dy=-\sqrt{\frac{mg}{D}}\int\tanh\left(\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right)\,dt=-\frac{m}{D}\ln\left|B\cosh\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right|, \qquad (11) }$$ が得られる．ここで、$\ln{A},\ \ln{B}$ は積分定数．また、初期条件、$t=0$ で (1) $y=0$, (2) $y=h_0$ を代入して得た $A={\large\frac{Dv_0}{m}},\ B=\exp\left(\large{-\frac{Dh_0}{m}}\right)$ を代入し、 $$\large (1) \quad y=\frac{m}{D}\,\ln\left|\frac{Dv_0}{m}t+1\right|, \qquad (12) $$ $$\large (2) \quad y=h_0-\frac{m}{D}\,\ln\left|\cosh\sqrt{\frac{Dg}{m}}t\right|=h_0-v_ft-\frac{v_f^2}{g}\,\ln\frac{1+\exp\left(-\frac{2gt}{v_f}\right)}{2}, \qquad \left(v_f=\sqrt{\frac{mg}{D}}\right) \quad (a) $$ を得る．面白いことに、速度に比例する粘性抵抗の場合には、 $x$ 成分は有限の距離までしか飛ばないが、速度の２乗に比例する慣性抵抗の (1) 場合には、速度が小さいところで限りなくゆっくり減衰するため極限値がないが、実際には粘性抵抗の寄与が効いてくる．また、(2) の場合には、($a$) から分かるように、$t\to\infty$ の極限では $y=h_0-v_ft+{\large\frac{v_f^2}{g}}\ln{2}$ となるので、$-v_ft$ に比例して降下する．